Історичні відомості

Теорія ймовірностей одна з найцікавіших та найзагадковіших наук, прикладний характер якої дає можливість застосовувати її до розв’язання задач фізики, економіки, природознавства та різноманітних технічних дисциплін. В інженерній справі велике значення має теорія надійності, що широко використовує методи теорії ймовірностей. Великого значення набула теорія ймовірності для молекулярної фізики, оскільки відомі закони фізики не можуть бути дієвими для масових явищ, у яких бере участь велика кількість елементів, а також при відсутності достатньої кількості фактів та знань про характер взаємодії даних елементів. У свою чергу методи теорії ймовірності цілком задовольняють дані вимоги. Також апарат теорії ймовірності виявився придатним для вивчення явищ природи, а всебічне дослідження явищ природи наштовхує теорію ймовірності на пошук нових закономірностей, що породжуються випадком. Отже, об’єктом дослідження та вивчення даної науки є система масових явищ, дослідів, результатами яких є певні випадкові події, а також вивчення самих цих результатів даних явищ.

Разом із вивченням теорії ймовірностей як науки, із стрункою змістовною лінією та багатим математичним апаратом, варто не випустити з уваги також історичний розвиток науки, оскільки для того, щоб зрозуміти зміст певного конкретного поняття, потрібно дослідити динаміку його розвитку, звернути увагу на основні ключові фактори, що вплинули на його утворення.

Іноді потрібен тривалий термін, щоб початкові ідеї та окремі завдання сформувалися й дали початок новій теорії зі своїми формулюваннями завдань і методами дослідження, що дозволяють просунутися по шляху пізнання явищ навколишнього світу. Теорія ймовірностей має багату і повчальну історію. Вона наочно показує, як виникали її основні поняття і розвивалися методи із завдань, з якими стикався суспільний прогрес.

Для кращого усвідомлення та сприйняття всього базового математичного апарату, що його використовує дана наука, варто розглянути періоди розвитку самої науки, звернути увагу на науковців, котрі займалися цими питаннями.

Саме з цією метою розглядається історія розвитку теорії ймовірностей.

Стимули виникнення теорії ймовірностей.

Як бачимо, основними чинниками, що стимулювали розвиток теорії ймовірностей, були задачі практичного характеру, відповідь на які не могла дати жодна з існуючих на той час наук.

Перші задачі імовірнісного характеру, що виникали в найрізноманітніших сферах діяльності людини, з часом почали викристалізовуватись в поняття і методи теорії ймовірностей. Задачі і проблеми, що вплинули на зародження і початковий розвиток теорії ймовірностей, виникали при обробці статистичних даних. В Давньому Єгипті, Греції, Римі робили окремі спроби підрахунку населення, кількості щорічно зібраного хліба. В російських літописах, що їх відносять до Х ст., і

більш пізніх є вказання на збір деяких статистичних даних. Статистика стала одним із суттєвих стимулів розвитку теорії ймовірності.

Практика азартних ігор не була вирішальним стимулом для розвитку теорії ймовірності, але вона висувала задачі, що стимулювали теорію ймовірності до розвитку.

Однією з перших задач, яку слід віднести до теорії ймовірностей, є обчислення числа різних можливих варіантів при киданні гральних кубиків. Перші відомі підрахунки при киданні 3-х гральних кубиків відносять до Х-ХI століть. Найперша відома спроба підрахувати число можливих варіантів при киданні 3-х гральних кубиків, включаючи і перестановки, зустрічається в працях 1200-1250 років.

Історично теорія ймовірностей має такі етапи свого розвитку.

 Передісторія теорії ймовірностей (давні віки - XVI ст.).

 Поява теорії ймовірностей як науки (XVII - XVIII ст.).

 Поява роботи Якоба Бернуллі “Мистецтво припущень” (XIX ст.).

 Створення російської (Петербурзької школи) (XIX – XX ст.).

 Сучасний період розвитку теорії ймовірностей (XX - …).

Кожен з етапів характеризується певною особливістю у розвитку науки, що видно з назв кожного з них.

Передісторія теорії ймовірностей

В цей період, початок якого знаходиться в давніх віках, ставились і примітивно вирішувались елементарні задачі, які пізніше були віднесені до теорії ймовірностей (збір статистичних даних, що носив імовірнісний характер). Ніяких спеціальних методів у цей період не виникає. Йде накопичення матеріалу. Цей період закінчується в XVI ст. роботами Кардано, Пачіоллі, Тарталья та інших (в яких автори розглядають задачі, розв’язання яких містять елементи комбінаторики).

Поява теорії ймовірностей як науки

З’являються перші специфічні поняття, такі як математичне сподівання.

Ферма

Паскаль

Гюйсенс

Встановлено перші теореми науки теореми додавання і множення ймовірностей. Початок цього періоду пов’язано з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса.                   

Робота Якоба Бернуллі “Мистецтво припущення”

До цього етапу розвитку відносять роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона та інших. Теорія імовірності починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце займають граничні теореми.

Період розвитку теорії ймовірностей, пов'язаний з російською (Петербурзькою) школою

Тут можна назвати такі прізвища, як П. Л. Чебишов, А. А. Марков, А. М. Ляпунов. В цей період поширення закону великих чисел і центральної граничної теореми на різноманітні класи випадкових величин досягає своїх природних меж. Закони теорії ймовірності стали застосовуватись до залежних випадкових величин. Все це дало можливість застосувати теорію ймовірності до багатьох розділів природознавства, в першу чергу – до фізики.

Сучасний період

Сучасний період розвитку теорії ймовірностей розпочався зі встановлення аксіоматики.

Цього, в першу чергу, вимагала практика, оскільки для успішного застосування теорії ймовірностей у фізиці, біології та інших областях науки, а також у техніці та військовій справі необхідно було уточнити та привести в струнку систему її основні поняття. Це зумовило небувалу широту досліджень з теорії ймовірностей, починаючи від господарчо-прикладних питань і закінчуючи найвужчими питаннями кібернетики.

Цей період історії теорії ймовірностей характеризується надзвичайним розширенням кола її застосувань, створенням декількох систем бездоганно строгого математичного обґрунтування теорії ймовірностей (аксіоматики), нових потужних методів, що вимагають іноді застосування (крім класичного аналізу) ресурсів теорії множин, теорії функцій дійсної змінної і функціонального аналізу. У цей період при дуже великій напруженій роботі в царині теорії ймовірностей за кордоном (у Франції  Е. Борель, П. Леві, М. Фреш, у Німеччині  Р. Мізес, у США  Н. Вінер, В. Феллер, Дж. Дуб, у Швеції  Г. Крамер) радянська наука продовжує займати виключно значне, а в ряді напрямків і провідне значення. Цей період подовжується з середини XVII ст. до початку XVIII ст. Теорія ймовірностей знаходить своє застосування в демографії, страховій справі, при оцінюванні похибок спостереження.

Події

Випадкові події та дії над ними. Простір подій

Первісним поняттям в теорії ймовірностей є поняття події (the vent). Результат спостереження чи досліду будемо називати подією і позначати великими буквами латинського алфавіту А, В, С.

Для того, щоб подія відбулась, необхідне виконання певного комплексу умов, які позначатимемо через S.

Якщо, наприклад, дослід полягає в киданні монети, то поява герба (або цифри) є подією: якщо виготовлення підшипника даного типу – дослід, то відповідність підшипника стандарту – подія; якщо дослід – кидання гральної кістки (кубика), на гранях якої поставлені цифри (очки) від 1 до 6, то випадання будь-якої цифри  подія.

Всі події можна розділити на вірогідні (reliable), неможливі (imposssible) та випадкові (random).https://studfiles.net/preview/5581792/
Вірогідними називають події, які при заданих умовах обов'язково відбудуться в проведеному досліді. Якщо ж при здійсненні комплексу умов подія не відбудеться ніколи, то така подія називається неможливою.

Наприклад: випадання від одного до шести очок при киданні грального кубика – подія достовірна, випадання семи очок – неможлива. Достовірні події позначають буквою U, неможливі  V.

Імовірність (the probability)  характеризує шанс появи події. Іноді шанс появи події задають або визначають відсотками. Наприклад, станок штампує деталі, причому якісних серед них 90%. Випадковими називаються події, які при виконанні комплексу умов S можуть відбутися, а можуть і не відбутися. Наприклад, випадання герба чи цифри при одному киданні монети; при стрільбі, маючи сім патронів, влучити в ціль чотири рази; виліт літака в погану погоду і т. д. При цьому вважається, що події можуть повторюватись багаторазово, тобто є масовими. Випадковість події полягає в неможливості передбачити результат досліду чи спостереження в масових явищах.

Якщо для кожної події можна передбачити результат досліду або спостереження, то такі події називають детермінованими, або передбачуваними. В теорії ймовірності вивчають недетерміновані події.

Дві події А і В називаються несумісними (incompatible), якщо поява однієї із них виключає появу іншої в даному досліді, в іншому разі події сумісні (compatible).

Дві події А і В називаються рівноможливими, якщо при виконанні комплексу умов S однаково можливі появи подій А і В.

Наприклад, при киданні грального кубика однаково можливі появи будь-якої сторони кубика. Події А₁, А₂, ..., А_n називаються єдино можливими, якщо поява однієї з них є достовірною подією. Множину єдино можливих подій називають повною групою подій. Події А₁, А₂, А₃, ..., A_n утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково відбудеться.

Подія  називається протилежною події А, якщо ці події єдино можливі і утворюють повну групу подій (complete group of events). Наприклад, якщо А  влучення в мішень, то   промах.

Сукупність несумісних рівноможливих подій, які утворюють повну групу, називають простором (space) або множиною елементарних подій (set of elementary events), події при цьому називають елементарними. Елементарну подію часто називають випадком, а сукупність елементарних подій  схемою випадків.

Будь-яку складену подію можна подати як сукупність елементарних подій. Для цього потрібно ввести операції додавання, віднімання та множення подій. Ці дії легко означити, використовуючи теоретико-множинний підхід.

Сумою (об'єднанням) (amount) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що в одному досліді відбудеться або подія А, або В, або обидві разом. Суму записують так:

С=А+В або .

Добутком (перетином) (product) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що відбувається і подія А, і подія В одночасно, це записують:

С=АВ або .

Узагальнюючи цi операції для кількох подій, матимемо

, .

Різницею двох подій A i В називають подію С, яка настає тоді коли А вже настала, а В  ще не настала, i це записують: А-В=С, або А=В+С. Вірогідні події позначають буквою U, а неможливі V. Тому , ; для несумісних A i В: AB=V.

Імовірність події

Імовірність події. Класична i статистична ймовірності та їх обчислення

Поняття ймовірності події виникло як інтуїтивне поняття, яке дає кількісну оцінку можливості появи події A i позначається Р(А).

Класичне й статистичне означення ймовірності.

Розглянемо простір (множину) елементарних подій А₁, А₂, ... А_n при виконанні комплексу умов S.

, (1)

де m  кількість елементарних подій, сприятливих А,

n кількість вcix можливих елементарних подій.

За класичним означенням ймовірність появи події шукають не проводячи ніяких дослідів, виходячи з теоретичних міркувань. На практиці часто доводиться мати справу iз статистичною ймовірністю. Її часто називають відносною частотою появи події i позначають

Р = ,

де m кількість випробувань, в яких подія А з'явилась,

n  загальна кількість випробувань.

В дослідах статистична ймовірність коливається в околі деякого постійного числа, змінюючись мало, причому тим менше, чим більше проведено дослідів. Ця стала отримала назву класичної ймовірнocтi. Для існування статистичної iмовірнocтi необхідно:

1) мати можливість провести необхідну кількість випробувань, в кожному з яких подія А настане або нi;

2) наявність стійкості відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:

1) Р(А)0 це очевидно, оскільки m0;

2) для вірогідної події ;

3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і nнескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А);

2) ;

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Умови 1) - 3) отримали назву аксіом теорії ймовірностей. Аксіоматичне означення класичної ймовірності зручне в теорії, проте воно не дає способу її обчислення. Такий спосіб дає визначення класичної ймовірності як границі статистичної. Якщо проводяться серії однотипних дослідів, в кожній з яких обчислені статистичні ймовірності, то отримаємо послідовність {Р₁*(А), Р₂*(А), ... Рn*(А)}, границя якої і визначає класичну ймовірність при .

Введення класичного означення ймовірності відбулося не в результаті однократної дії, а зайняло певний проміжок часу, як і формування самої теорії ймовірностей. Тобто відбувалося безперервне вдосконалення формування, перехід від конкретних задач до загального випадку.

Найперші роботи, котрі були присвячені теорії ймовірності як науці, були написані Х. Гюйгенсом (1657) «Про розрахунки в азартних іграх». Однак у своїй праці автор не дає чіткого формулювання для класичного означення ймовірності. Це поняття було введено, хоча і в недосконалій формі, Я. Бернуллі (1713) у трактаті «Мистецтво припущень»: «Імовірність – ступінь вірогідності і відрізняється від неї, як частина від цілого». Як бачимо, таке формулювання є досить узагальненим. Однак у п’ятій главі четвертої частини своєї роботи Я. Бернуллі описує класичну ймовірність як відношення числа «щасливих» випадків до кількості усіх можливих. Якобом Бернуллі було запропоновано й інше означення ймовірності як відношення кількості «щасливих» випадків до кількості «нещасливих». Однак в науці це означення не було прийняте з двох причин: 1) неадитивності відношень (першого та другого означень); 2) зміна відношення в останньому означенні від 0 до ∞.

Якоб Бернуллі (27.12.1654 - 16.08.1705)

Швейцарський математик. Брат Йоганна Бернуллі. Науковий керівник - Лейбніц. Якоб зробив значний вклад в теорію рядів, диференціальне числення, теорію ймовірностей і теорію чисел, його іменем названі числа з деякими визначеними коефіцієнтами. В алгебрі він завершив теорію комбінацій і перестановок, в елементарній геометрії розв'язав так звану задачу Мальфатті для випадку рівнобедреного трикутника, в диференціальній геометрії розв'язав питання про геодезичні криві на поверхні обертання і багато інших питань.

Я. Бернуллі свої роботи обґрунтовував роботами Граунта і Петті. У трактаті Я. Бернуллі присутні обидві концепції теорії ймовірності – статистична і класична. Обидві вони викладені не досить чітко, однак принципово новий крок у науці було зроблено – введено в розгляд поняття ймовірності випадкової величини як числа, що знаходиться в межах від 0 до 1. Вірогідній події при цьому приписувалася 1 (максимальне значення ймовірності), а неможливій – 0 (мінімальне значення). Крім того, було ясно сказано, що це число може бути визначено двома різними способами: шляхом підрахунку кількості усіх рівноможливих випадків, які сприяють події, та всіх можливих випадків і обчислення їх відношення, а також шляхом проведення великої кількості (класичний спосіб) незалежних випробувань і обчислення частоти події (статистичний спосіб).

Я. Бернуллі обмірковував своє «Мистецтво припущень» довгі роки, за його словами близько 20. Однак у світ воно вийшло лише через 8 років після смерті автора у 1713 році. Зміст цих публікацій вже був відомий широкому колу науковців у вигляді рукописів. Таким чином, цей трактат впливав на подальший розвиток теорії ймовірності ще до його публікації, що видно з праць П. Монмора, А. Муавра.

Муавр Абрагам де (1667 - 1754) - англійський математик.

Наукова спадщина Муавра дуже велика, адже вчений був надзвичайно працьовитою людиною. Він працював у галузі теорії рядів, теорії ймовірностей, комплексних чисел. У теорії ймовірностей довів одну важливу теорему, яка названа його іменем і яку можна знайти в усіх підручниках із цієї теорії. У теорії комплексних чисел вивів правила піднесення до степеня й добування кореня n-го степеня з комплексних чисел. Ці формули широко застосовуються в тригонометрії й алгебрі при розв'язуванні двочленних рівнянь і відомі тепер як «формули Муавра».

Саме означення, що його дав Я. Бернуллі, стало першою сходинкою у розвитку теорії ймовірності як науки. А. Муавр сприйняв це класичне означення ймовірності, яке дав Я. Бернуллі, і ймовірність події визначив точно так само, як це робимо ми. Він писав: «Ми будуємо дріб, чисельником якого буде кількість випадків появи події, а знаменником – кількість усіх випадків, при яких вона може з’явитися чи не з’явитися, такий дріб буде визначати дійсну ймовірність її появи».

З визначення імовірності випливає, що вона задовольняє співвідношення .

Приклад

З колоди 36 карт вибирається одна карта. Яка імовірність появи карти пікової масті?

Розв’язання. Нехай А поява карти пікової масті. Всього випадків 36. Число випадків, що сприяють події А, m=9. Значить Р(А)=9/36=0,25.

(Історична задача А. Муавра.) Для класичного означення А. Муавр навів приклад.

Якщо якась подія має 3 сприятливих випадки (шанси), 2 – несприятливих шанси, дробовий вираз 3/5 буде точно говорити про ймовірність її появи і може розглядатися як її міра.

Великий внесок у розвиток теорії ймовірностей зробив Л. Ейлер. Леонард Ейлер швейцарський вчений (4(15).04.1707-7(18).09.1783).

20 жовтня 1720 р. тринадцятирічний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету. Батько бажав, щоб він став священиком. Але любов до математики, блискуча пам'ять і відмінна працездатність сина змінили ці наміри і направили Леонарда по іншому шляху. У творчій спадщині вченого близько 800 робіт. Певна увага була приділена Ейлером і теорії ймовірностей, зокрема декілька робіт Ейлера присвячені страхуванню. Вони є вагомим внеском в розвиток теорії ймовірностей.

Темі демографії Ейлер приділяв особливу увагу. Серед робіт цієї тематики можна виділити “Дослідження про смертність та примноження роду людського”, “Про примноження роду людського”. В цих роботах Ейлер вирішує багато задач, що лягли в основу математичної демографії. Ейлер створив вікову теорію смертності. Він отримав цікаві висновки при розв’язанні задач про подвоєння чисельності населення. Прикладом такої задачі є викладена нижче.

Приклад Л. Ейлера

Кількість жителів деякої області збільшується щорічно на 1/30 кількості людей, а спочатку область населяло 100000 людей. Питається, якою буде кількість людей через 100 років?

Через 100 років кількість людей буде: 

Логарифмуємо:

.

Цьому логарифму відповідає число 2654874. Отже, через 100 років кількість населення збільшиться більш ніж в 26,5 раза.

Одна з важливих задач Ейлера

Нехай N позначає кількість людей, що народилися одночасно, k(N) – кількість людей, що залишилися живими через k років. Відповідно k – ймовірність виживання. Після введення цих позначень Ейлер дає таку відповідь на сформульоване питання:

а ймовірність того, що людина помре у вказаний проміжок часу буде:

Ймовірності Ейлер брав з роботи голландського демографа М. Керсебума (1691-1771).

Оскільки Ейлер частину свого життя працював в Росії, він добре знав російську мову, і частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською мовою. Перші російські академік математик (С. К. Котельников) і астроном (С. Я. Румовський) були учнями Ейлера. Деякі його нащадки і донині проживають в Росії.

Однією з перших задач, яку слід віднести до теорії ймовірностей є обчислення числа різних можливих варіантів при киданні гральних кубиків. Перші відомі підрахунки при киданні 3-х гральних кубиків відносять до X-XI століть.