Геометричні ймовірності

Геометричні ймовірності

При застосуванні понять суми і добутку подій часто подається наочна геометрична інтерпретація цих понять. На рисунках наочно проілюстровано поняття суми і добутку двох подій.

Якщо подія А є попаданням точки в область А, відповідно подія В є попаданням точки в область В, то подія А+В є попадання в область А або В, або в їх спільну частину (рис. 1. 1). Подія АВ є попаданням точки в спільну частину областей А і В.

Означення. Нехай задана область D з площею, яку позначимо “плD”. Тоді ймовірність попадання точки в область , вважаючи достовірним попадання точки в D, обчислюється:

Теорема. Імовірність суми сумісних подій обчислюється за формулою:

Доведення. Ілюструється геометрично.

Вважаючи достовірним попадання точки в квадрат із стороною, рівною 1, маємо:

; ;

; .

.

Зауваження 1. З цієї формули випливає рівність:

.

Зауваження 2. Імовірність суми трьох сумісних подій обчислюється за формулою:

Приклад. Ймовірність попадання в деяку мішень при пострілі з першої гармати дорівнює , при пострілі з другої гармати . Знайти ймовірність поразки мішені при одночасному пострілі обох гармат. Мішень вражено, якщо буде хоча б одне попадання з будь-якої гармати. (Покажемо два різних розв’язання).

І. .

 – імовірність хоча б одного попадання.

ІІ. Знайдемо імовірність D – жодного попадання:

.

Ймовірність хоча б одного попадання:

Приклад на геометричну імовірність. “Задача про зустріч”

Два студенти А і В домовились зустрітись у визначеному місці між

12-ю і 13-ю годинами.

Кожний, хто прийде першим, чекає другого протягом 20 хвилин, після чого йде з місця зустрічі. Чому дорівнює імовірність зустрічі студентів А і В, якщо прихід кожного з них протягом даного часу може відбутись навгад і моменти приходу незалежні.

Розв’язання.

Позначимо моменти приходу студента  А через  а студента В  через  (рис. 1.5). Для того, щоб зустріч відбулась, необхідно і достатньо, щоб:

;

.

Моменти  і  показуємо як декартові координати на площині; за одиницю масштабу виберемо хвилину. Всі можливі виходи показуються точками квадрата із сторонами 60; ті, які сприяють зустрічі, розташуються в заштрихованій області.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню площі заштрихованої фігури до площі всього квадрата:

.

Задача Бюффона вперше зустрічається в роботі Уайтворта “Вибір і шанс”(Choice and chance – London, 1886, chap III, p. 242 – 243). Задача була розв’язана Уайтвортом звичайним способом, який ми використовуємо і зараз. Було підраховано і ймовірність зустрічі. Ця задача знаходила застосування в задачах організації виробництва.

Уже в першій половині XVII століття стало зрозумілим, що класичне означення поняття ймовірності має обмежену область застосування і виникають ситуації, коли воно не діє. Першим, хто зробив крок у напрямку розвитку геометричної ймовірності, був Х. Гюйгенс в 1692 році. Однак в перекладі, здійсненому Д. А.  Арбутнотом, задачі на геометричну ймовірність були винесені в додаток як такі, що мають “важкий характер”. Принцип задач полягав у тому, що вводиться міра множини сприятливих події випадків і береться її відношення до міри множини всіх можливих випадків.

Згодом цією темою займався Ж. Бюффон, який двічі опубліковував роботи, що присвячені геометричній ймовірності (1733 і 1777), в яких головною ідеєю вченого було “показати, що геометрія може бути використана як аналітичний інструмент в області теорії ймовірностей", у той час, як геометрія здавалась малопотрібною для таких цілей. Ж. Бюффон сформулював відому задачу “кидання голки”. Яка ймовірність того, що голка перетне одну з паралельних прямих?

Наведемо її формулювання, опустивши доведення.

Площина розграфлена рівновіддаленими прямими. На площину навгад кидається голка. Один гравець стверджує, що голка перетне одну з паралельних прямих, а інший що не перетне.

Бюффон вважав, що шукана ймовірність дорівнює , тоді як в дійсності вона дорівнює . Після Бюффона задачі на геометричну ймовірність стали систематично включати в трактати і підручники з теорії ймовірності.